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Corona Mathe


Auch auf die Gefahr hin jetzt ein bissl blöd dazustehen: Ich dachte bis vor Kurzem dass alles was nicht-linear auch schon exponentiell ist. Also exponentiell wäre "über-linear" oder halt einfach nur "schneller als linear". Bei einem Gespräch mit einem Mathematikkundigen neulich kam das dann auf und ich konnte nicht umhin, mir das etwas genauer anzusehen - und dabei bin ich um einiges schlauer geworden.

Hier seht ihr 4 Kurven zu Funktionen, die ich in eine Tabellenkalkulation geklopft habe:

Die gelbe, quadratische Funktion gibt gleich mal schön Gas und holt schon bei der zweiten Iteration die bis dahin führende steil lineare Funktion (rot) ein. Weit abgeschlagen dümpelt die exponentielle Funktion (grün) dahin - sie ist in diesem Betrachtungsbereich das absolute Schlusslicht.

Die Aufholjagd der exponentiellen Funktion


Wenn wir aber etwas weiter nach vorne rechnen und die Situation nach 30 bis 40 Iterationen uns ansehen, hat sich das Bild dramatisch verändert: Ab ca. 25 (auf der X-Achse) überholt die exponentielle Kurve die beiden linearen und ab 42 zieht sie auch der bis dahin führenden quadratischen Funktion davon.

Im Alltag haben wir Erfahrung mit linearen Funktionen: "Liebe Kinder, jeder läuft in den Wald und kommt mit zwei Stück Brennholz wieder!" wär die steil lineare Funktion im Alltag. Egal wie groß die Kindergruppe ist, ich laufe nicht Gefahr von einem Berg an Brennholz begraben zu werden. Bei quadratischen Funktionen fällt mir schon kaum noch was Alltägliches ein: Am ehesten wäre da noch der Kraftstoffverbrauch zu nennen, der irgendwie quadratisch also über-linear mit der Geschwindigkeit zunimmt. Oder halt so Sachen wie Lichtstärke und Funkwellen - alles aber schon weniger greifbar.

Ja und mit exponentieller Vermehrung hatte ich bis vor Kurzem noch gar keine Bekanntschaft gemacht bis dann dieser COVID kam: Da tut sich lange nix - die "Experten" ziehen sorgenvolle Gesichter doch die Infektionszahlen trödeln gemütlichst vor sich hin. Nur irgendwann ist Schluss mit trödeln und aus der exponentiellen Vermehrung wird eine explosionsartige. Doch dann ist es im praktischen Leben eigentlich schon wieder zu spät. Man müsste tatsächlich gegensteuern, so lange die Zahlen noch lächerlich niedrig sind.

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Ingo Lantschner

Sehr schönes Beispiel @hollma - danke! Das brachte mich auf die Idee, dass sich ja auch der Bremsweg quadratisch verhalten müsste. Und so ist es auch:

sB = v^2 /(2*a) - also das Quadrat der Geschwindigkeit dividiert durch die doppelte Bremsverzögerung.

Anschaulicher ist die Kurve:

Mein inzwischen geschultes Auge erkennt aber auch sofort, dass das eine quadratische und keine exponentielle Entwicklung ist. Letztere wäre anfangs viel flacher und am Ende dann dafür um so steiler.

Noch eine Anmerkung zum Bremswegdiagramm: Das ist der Brems- und nicht der Anhalteweg. Letzterer ist länger. Weiters gehen wir hier von trockener Straße aus. In Realita also muss ma also viel längere Wege einplanen bitte.